슈뢰딩거 파동방정식(Schrodinger's Wave Equation) 유도

슈뢰딩거

 

앞서도 언급한 적이 있지만 슈뢰딩거 파동방정식은

파동에 관한 양자역학적 미분방정식으로서, 파동의 에너지 보존 법칙을 표현한 방정식이라고 할 수 있다.

이 개념을 기반으로 슈뢰딩거 파동방정식을 유도해 보도록 하겠다.

$$E_k + E_p = E_{total}$$

 

 즉, 이 식으로부터 슈뢰딩거 파동방정식을 유도할 것이다.

 

 

 <알아야 할 물리량과 기본도구들>

 

$$Quantity$$	$$Quantum  \  Operator$$
$$P=\hbar \ k : Momentumk $$ $$k : Wave \ number$$	$$k = -j{\partial W(x,t) \over \partial x }{1 \over W(x,t)  }$$
$E=\hbar w : Energy $ $w : Angular \ frequency$	$w = j{\partial W(x, t) \over \partial t}{1 \over W(x, t)}$

$W(x, t) = S(x)T(t) : Wave function$

$S(x)=S_0exp(jkx)$

$T(t) = exp(-jwt)$

 

 

 <에너지 보존법칙으로부터 SWE 유도>

 

$E_k + E_p = E_{Total}$

 

 위의 도구들을 이용하면( 위 도구들을 이용한 계산 과정은 생략하겠다.)

 

$E_k={1 \over 2}mv^2={p^2 \over 2m}=-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2W(x,t) \over \partial x^2}{1 \over W(x,t)}$

 

$E_p = q\phi \equiv V$

 

$E_{Total} = \hbar w = j\hbar{\partial W(x, t) \over \partial t}{1 \over W(x ,t)}$

 

 

$\therefore$

 

$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 W(x, t) \over \partial x^2}{1 \over W(x, t)} + V = j\hbar {\partial W(x, t) \over \partial t}{1 \over W(x ,t)}$

 

                                    $\Downarrow \ \times W(x, t)$   표현의 간결함을 위해

 

    ${\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 W(x ,t) \over \partial x^2} + VW(x, t) = j\hbar{\partial W(x ,t) \over \partial t}$

 

 

 <Time-independent한 경우>

 

${-\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 S(x)T(t) \over \partial x^2}{1 \over S(x)T(t)} + V = E_{Total}$

 

$\Rightarrow$ ${\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 S(x) \over \partial x^2}{1 \over S(x)} + V = E_{Total}$

 

$\Rightarrow$ ${\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 S(x) \over \partial x^2} - (E_{Total} - V)S(x) = 0$

 

$\Rightarrow$ $\nabla^2 S + {2m \over \hbar^2}(E_{Total} - V)S = 0$

 

 

 <세 가지 좌표계에서 정리>

 

$Orthogonal  \ Coordinate: the \  most \ suitable \ for \ a \ 1-Dimensional \ problem$

$\nabla^2 S(x, y, z) + {2m \over \hbar^2}(E_{Total} - V)S(x, y, z) = 0$

 

$Cylindrical \ Coordinate:$

$\nabla^2 S(\phi, \theta, z) + {2m \over \hbar^2}(E_{Total} - V)S(\phi, \theta, z) = 0$

 

$Spherical \ Coordinate: the \ most \ suitable \ for \ atomic \ structures$

$\nabla^2 S(r, \theta, \phi) + {2m \over \hbar^2}(E_{Total} - V)S(r, \theta, \phi) = 0$

 

 

 <파동함수와 그 절댓값의 제곱의 의미>

 

● 파동함수

 

 파동함수 자체는 자유도를 의미한다. 직관적으로 자유로운 곳에서 많이 발견되기 싶다는 것을 떠올릴 수 있다.

 

● 파동함수의 절댓값

 

파동함수의 절댓값의 제곱은 전자를 발견할 확률을 의미한다.