슈뢰딩거 파동방정식(Wave Equation) 활용 2 <오비탈>

출처 : Wikipedia

 

< 오비탈(orbital, 궤도함수) >

 

 보어의 원자모형(전자가 일정한 궤도로 원자핵 주위를 돌고 있음)은 전자의 위치와 운동량을 모두 안다는 가정하에 나온 개념이었다. 이것은 물질의 정확한 위치나 운동량은 알 수 없다는 양자역학(※ 하이젠베르크 불확정성 원리)의 개념에 어긋나는 것이었다. 

 

 양자역학과 통계역학을 동원해서 원자 내부를 더 자세히 들여다 보니 원자 내의 전자들의 정확한 위치나 운동량은 알 수 없고 어느 공간에서 발견할 수 있는 확률로만 타나낼 수 있었다. 이것이 오비탈이다. 오비탈은 원자 내 전자의 위치를 확률적으로 나타낸 함수이며 파동방정식의 해로서 나타난다. 앞서 말했듯이 슈뢰딩거 파동방정식은 미시세계의 모든 물질의 운동을 해석할 수 있는 도구이다. 이 도구를 이용해서 원자 내의 전자의 위치를 확률적으로 계산해 낸 결과물이 바로 오비탈인 것이다.

 

※오비탈(궤도함수)에서 전자를 발견할 수 있는 확률이 가장 높은 지점은 보어의 궤도와 비슷하다. 이 때문에 전자의 전이를 '간단히' 설명할 때는 개념이 '간단한' 보어의 궤도로 설명하는 것이다.

 

 구면좌표계의 슈뢰딩거 파동방정식을 수소 원자에 적용시켜 보면 

 

$\nabla^2S(r, \theta, \phi) + {2m \over \hbar}(E_{Total}-V)S(r,\theta,\phi)=0$

 

$S(r, \theta, \phi) \Rightarrow S_{nlm}(r, \theta, \phi) = R_n(r)\Theta_l(\theta)\Phi_m(\phi)$

 

양자수(quantum number)

 

$n=1, 2, 3,...$

$l=n-1, n-2, n-3,...0$

$\vert m \vert=l, l-1,...,0$

 

라는 게 도출되고

 

전자의 에너지가 이렇게 도출된다.

 

$E_n={-m_0\exp^4 \over (4\pi \epsilon_0)^22\hbar^2n^2}$

 

역시 전자의 에너지가 양자화 돼있는 걸 볼 수 있고, 계산과정에서 나온 양자수는 전자의 상태를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.