슈뢰딩거 파동방정식(Wave Equation) 활용 1 <퍼텐셜 우물>

 

< 무한 퍼텐셜 우물 >

 

 무한 퍼텐셜 우물은 입자가 무한히 깊은 퍼텐셜 우물에 갇혀 있어 나가지 못하는 시스템을 말한다. 고전역학적 관점에서 이 시스템을 보면 단순히 입자가 벽과 충돌하고 그대로 튕겨 나오는 결과를 얻는다고 쉽게 예측할 수 있지만, 양자역학적 관점에서 슈뢰딩거 방정식을 사용해서 이 시스템을 해석해 보면 에너지 상태가 양자화 되어 있다는 것이나 우물 안의 각 지점에서 입자를 발견할 확률이 서로 다르다는 것 등 전혀 직관적이지 않은 결과가 나온다. 이 문제는 양자역학에서 등장하는 다른 문제들이 비해 비교적 매우 쉽게 풀리면서, 동시에 많은 양자역학적 기초 개념들이 어떻게 등장하는지 쉽게 보여줄 수 있기 때문에 처음 양자역학을 배울 때 가장 먼저 소개되는 문제이기도 하다.

 

무한 퍼텐셜 우물에서 슈뢰딩거 파동방정식을 풀어보면

 

$E=E_n={\hbar^2n^2\pi^2 \over 2ma^2} \quad where \ n= 1, 2, 3, ...$

 

 이 결과가 나온다. 에너지가 양자화 되어있다는 것을 나타낸다. 즉 입자의 에너지가 특정한 값들만을 가질 수 있다는 것을 의미한다. 이것은 고전역학의 관점에서는 이해되지 않는 현상이다. 수소원자의 전자의 에너지 값을 구할 때 이러한 원리로 양자화된 값으로 도출되는 것을 볼 수 있다.

< 유한 퍼텐셜 우물 >

 

 물체에 퍼텐셜 우물의 턱을 넘을 수 있을 만큼 충분한 에너지가 공급되면 물체는 스스로 운동하여 퍼텐셜 우물을 빠져나올 수 있다. 그런데 양자역학에서의 확률적 특성 때문에 에너지의 공급 없이도 물체가 퍼텐셜 우물을 빠져 나갈 수 있다. 이러한 현상을 터널링(Tunneling)이라고 한다.

 

$T={1 \over 1+{1 \over 4}\{{V_0^2 \over E(V_0-E)}\}\{{\exp^{jk_2a}+\exp^{-jk_2a} \over 2}\}}$

                             $\Downarrow$

$T \approx 16({E \over V_0})(1-{E \over V_0})\exp(-2k_2a)$

 

이 방정식은 퍼텐셜 벽을 입자가 뚫고 지나갈 수 있는 확률이 있다는 것을 의미한다. 이것도 역시 고전역학의 관점에서는 이해되지 않는 현상이다.  이 터널링 현상은 나중에 터널 다이오드 같은 반도체 소자의 특성에 적용되는 걸 볼 수 있을 것이다.